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Résolu

Preuve de math sup

Dernière réponse : dans Etudes - Travail
27 Septembre 2009 18:03:43

Bonjour,

J'ai un epreuve a faire et je reste bloqué:

pour un cercle de rayon n (n=chiffre entier) , on defini p(n) la fonction des coordonnees entieres dans le cercle. comment poruver:

pour n>=2

Pi x (n-2)^2 <= p(n)<= Pi x (n+2)^2


Autres pages sur : preuve math sup

27 Septembre 2009 18:28:18

Ton énoncé n'est pas clair, la fonction p, elle renvoie le nombre de points à coordonnées entières sur le cercle ou dans le disque ?
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27 Septembre 2009 18:35:32

Bonjour, c'est dans le disque en effet et pas juste sur le perimetre du cercle
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Contenus similaires
27 Septembre 2009 18:45:49

abel_b a dit :
Ton énoncé n'est pas clair, la fonction p, elle renvoie le nombre de points à coordonnées entières sur le cercle ou dans le disque ?



Bonjour, c'est dans le disque en effet et pas juste sur le perimetre du cercle
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Meilleure solution

27 Septembre 2009 19:34:26

OK

Soit C un cercle de rayon n
Imaginons la figure que forme l'ensemble de ces points (un cercle "pixélisé")et intéressons nous à sa surface

Déjà, son aire est inférieure au nombre de points qu'elle contient puisqu'il faut 4 point pour définir une unité d'aire et qu'un point ne peut servir au plus que pour définir 4 unités d'aire.

Si on trace le cercle C' de rayon n-2 de meme centre que le précédent, il nous reste à montrer qu'il est inclus dans cette figure :
En effet, raisonnons par l'absurde : si ce disque n'est pas inclus dans cette figure alors il y a un point de coordonnées entière (p,q) tel que (p,q) est dans C' (et donc dans C aussi) et tel que (p,q+1) ou (p+1,q), ou (p+1,q+1) n'est pas dans C' ni dans C (notons P ce point)...

Or la distance entre P et C' est inférieure à sqrt(2) donc P est dans le disque de rayon(n-2+sqrt2) de meme centre et donc aussi dans le cercle de rayon n ce qui contredit l'hypothèse de départ

Donc le cercle C' est inclus dans la figure
Donc

p(n)>aire_figure>aire C'

Ce qui donne une partie de l'inégalité

Pour l'autre partie, meme principe avec un cercle de rayon n+2
partage
28 Septembre 2009 10:30:45

Merci beaucoup pour votre aide rapide! Je retiens donc l'usage de la preuve par l'absurbe.

Je vais faire l'autre partie de l'equation maintenant sur un disque de rayon N+2 qui , dans l'hypothese par l'absurde, est dans le cercle pixélisé.

A bientot!
m
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28 Septembre 2009 23:53:45

Bonjour, Juste pour vérifier la 2eme partie donc, pouvez vous confirmer si c'st bien cela?

En raisonnant pour l'absurde pour prouver que C'' (disque de rayon (n+2) n'est pas dans la "figure pixélisée" C_p(n):

Si C'' est dans C_p(n) alors il y a un point (r,s) tel que (r,s) est dans C'' et donc dans C et tel que (r, s+1) ou (r+1, s) ou (r+1, s+1) n'est pas dans C'' et ni dans C -> ceci est le point R.

Or la distance entre R et C'' < sqt2
donc R est inclu entre un disque de rayon (n+2-sqt2) de même centre que C'' et le disque C''.

Mais cela veut dire que R n'est pas dans C ce ui conterdit l'hypothèse de départ.

Donc on peut dire: p(n)<aire de C <aire C''


La seule chose qui me dérange un peu c'est le lien logique entre la distance du point R (ou P ci-dessous) du disque C'' et le fait que la surface, voir le nombre de point p(n) soit comme on l'écrit ci-dessus. N'y a t'il pas une autre étape que l'on pourrait mettre pour rendre la rpeuve encore plus évidente?


abel_b a dit :
OK

Soit C un cercle de rayon n
Imaginons la figure que forme l'ensemble de ces points (un cercle "pixélisé")et intéressons nous à sa surface

Déjà, son aire est inférieure au nombre de points qu'elle contient puisqu'il faut 4 point pour définir une unité d'aire et qu'un point ne peut servir au plus que pour définir 4 unités d'aire.

Si on trace le cercle C' de rayon n-2 de meme centre que le précédent, il nous reste à montrer qu'il est inclus dans cette figure :
En effet, raisonnons par l'absurde : si ce disque n'est pas inclus dans cette figure alors il y a un point de coordonnées entière (p,q) tel que (p,q) est dans C' (et donc dans C aussi) et tel que (p,q+1) ou (p+1,q), ou (p+1,q+1) n'est pas dans C' ni dans C (notons P ce point)...

Or la distance entre P et C' est inférieure à sqrt(2) donc P est dans le disque de rayon(n-2+sqrt2) de meme centre et donc aussi dans le cercle de rayon n ce qui contredit l'hypothèse de départ

Donc le cercle C' est inclus dans la figure
Donc

p(n)>aire_figure>aire C'

Ce qui donne une partie de l'inégalité

Pour l'autre partie, meme principe avec un cercle de rayon n+2

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5 Octobre 2009 14:36:06

Bonjour, J'ai reçu une alerte de réPonse de votre part mais il semble n'y avoir que ma question corrolaire... Avez vous répondu pour la vérification de la deuxième partie ci dessous?

Juste pour vérifier la 2eme partie donc, pouvez vous confirmer si c'st bien cela


Encore merci! La preuve a été fort apprécier en cours en plus et j'ai pu faire la démo :) 

abel_b a dit :
OK

Soit C un cercle de rayon n
Imaginons la figure que forme l'ensemble de ces points (un cercle "pixélisé")et intéressons nous à sa surface

Déjà, son aire est inférieure au nombre de points qu'elle contient puisqu'il faut 4 point pour définir une unité d'aire et qu'un point ne peut servir au plus que pour définir 4 unités d'aire.

Si on trace le cercle C' de rayon n-2 de meme centre que le précédent, il nous reste à montrer qu'il est inclus dans cette figure :
En effet, raisonnons par l'absurde : si ce disque n'est pas inclus dans cette figure alors il y a un point de coordonnées entière (p,q) tel que (p,q) est dans C' (et donc dans C aussi) et tel que (p,q+1) ou (p+1,q), ou (p+1,q+1) n'est pas dans C' ni dans C (notons P ce point)...

Or la distance entre P et C' est inférieure à sqrt(2) donc P est dans le disque de rayon(n-2+sqrt2) de meme centre et donc aussi dans le cercle de rayon n ce qui contredit l'hypothèse de départ

Donc le cercle C' est inclus dans la figure
Donc

p(n)>aire_figure>aire C'

Ce qui donne une partie de l'inégalité

Pour l'autre partie, meme principe avec un cercle de rayon n+2

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5 Octobre 2009 21:46:23

Salut

Je n'ai pas bcp de temps en ce moment donc je ne réponds pas toujours aux questions qui demandent un peu de réflexion. (faut me comprendre hein :D )

Pour la deuxième partie, la partie délicate c'est qu'il faut faire un lien entre une aire et le nombre de points entiers qui définissent la figure (il faut majorer, alors que précédemment on a minoré)
Montre par exemple que le nombre de point est inférieur à l'aire définie par la figure entourée par une "couronne". L'idée étant de faire en sorte que chaque point entier soit en contact avec 4 unité d'aire

Ainsi à chaque point intérieur on peut associer une unité d'aire. Pour les points extérieur, on a ajouté de la surface et ainsi on sait que notre surface est supérieure au nb de points..Et on montre par un raisonnement analogue au premier que cette surface est incluse dans le disque de rayon n+2


PS : je suis intéressé si vous avez eu d'autres preuves.

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5 Octobre 2009 22:54:00

ok merci et en effet je comprend a propos du temps qui manque....

la preuve que j'ai utilisée est au dessus et est legerement different de ce que tu dis.

A bientot

abel_b a dit :
Salut

Je n'ai pas bcp de temps en ce moment donc je ne réponds pas toujours aux questions qui demandent un peu de réflexion. (faut me comprendre hein :D )

Pour la deuxième partie, la partie délicate c'est qu'il faut faire un lien entre une aire et le nombre de points entiers qui définissent la figure (il faut majorer, alors que précédemment on a minoré)
Montre par exemple que le nombre de point est inférieur à l'aire définie par la figure entourée par une "couronne". L'idée étant de faire en sorte que chaque point entier soit en contact avec 4 unité d'aire

Ainsi à chaque point intérieur on peut associer une unité d'aire. Pour les points extérieur, on a ajouté de la surface et ainsi on sait que notre surface est supérieure au nb de points..Et on montre par un raisonnement analogue au premier que cette surface est incluse dans le disque de rayon n+2


PS : je suis intéressé si vous avez eu d'autres preuves.

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