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Résolu

Logarithme

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Dernière réponse : dans Etudes - Travail
22 Décembre 2009 21:17:11

pouvais vous m'aider pour un exercice de maths sur les logarithmes. A vrai dire, j'ai beaucoup de mal car j'étais absente lors du cours en classe...

Pour tout réel 1<x, f(x)=ln(x^3-x^2)

1) Justifier l'ensemble de définition de la fonction f.
2) Déterminer les limites de f(x) en 1+ et en + infini
3) Vérifier que f'(x)= 3x-2/x(x-1). Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
4)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet sur I=]1;+infini] une solution unique xindice0. Donner la valeur arrondie de xindice0 à 0,01 près.
Démontrer que f(x) est strictement positif sur ]xindice0;+infini[
5) soit h la fonction définie sur l'intervalle I par : h(x)=2xlnx+(x-1)ln(x-1)
Calculer h'(x). En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.

Autres pages sur : logarithme

22 Décembre 2009 21:35:30

Où est-ce que tu bloques?
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22 Décembre 2009 21:38:40

je bloque dès le début c'est vous dire ...je ne comprends pas, je ne sais pas ce qu'il faut faire. En plus, je ne suis vraiment pas forte en maths
aidez moi...
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Contenus similaires
Pas de réponse à votre question ? Demandez !
22 Décembre 2009 22:52:44

Salut,

Dans un premier temps, ça serait pas mal que tu rattrapes le cours que tu as manqué.

Avec ton ami Google, tu pourras trouver ton bonheur sans problème.
Voilà une fiche qui reprend les éléments essentiels à connaitre sur le logarithme népérien, lis la attentivement.

Il faut intégrer le fait qu'une fonction logarithme tel que ln(u) a pour condition u > 0.
Dans le cas de ta fonction f(x)=ln(x^3-x^2), la condition est donc x^3-x^2 > 0
La résolution de cette équation te permettra donc de répondre à la 1ère question, à savoir l'ensemble de définition (n'oublie pas aussi que l'énoncé t'indique que x > 1).

Avec ces premiers éléments, tu peux déjà essayer de répondre à la question 1 et 2.


Pour la question 3, il suffit d'appliquer les formules pour le calcul des dérivées. Dans le cas de ta fonction, il s'agit de la formule suivante : (ln(u) )' = u'/u


Voilà, essaie déjà de faire ça.
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l
23 Décembre 2009 10:20:41

Merci beaucoup je vais déjà faire ça !
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23 Décembre 2009 10:39:27

Pour la première question, je trouve x^3-x^2>1 est-ce que c'est ça ?
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23 Décembre 2009 11:52:40

Non. Pour que le logarithme soit défini, il faut que x^3-x² soit positif. Donc tu dois étudier quand est-ce que c'est positif. Pour cela, tu factorises par x² et tu fais un tableau de signes.
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23 Décembre 2009 12:44:34

D'accord donc j'ai fait

x^3-x^2 >0 x^2(x-1)>0
je trouve donc x^2 >0 et x>1
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23 Décembre 2009 13:41:14

C'est bon je suis arrivée jusqu'à la question 4 ! A partir de là, que faut-il faire ?
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23 Décembre 2009 18:04:06

coci a dit :
D'accord donc j'ai fait

x^3-x^2 >0 x^2(x-1)>0
je trouve donc x^2 >0 et x>1

Cette question n'est pas terminée!
Tu as effectivement résolu ton inéquation mais tu n'as pas donné le domaine de définition.

Par conséquent, qu'est ce que tu conclus?


De plus, donne nous tes réponses aux questions suivantes afin qu'on puisse te corriger :) 
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23 Décembre 2009 18:50:16

alors pour l'ensemble de définition j'ai trouver [1, + infini[
explication: x^3-x^2 >0 équivaut à x^2(x-1)>0
Donc ln(y) > 0 si x>1

2. lim f(x) en 1+ = 0 mais je ne suis pas sûr
lim f(x) en + infini = + infini je ne suis pas sur non plus.
3.f'(u) = u'/u donc je trouve bien 3x-2/x(x-1)
j'ai fait le tableau de signe de f'(x) avec comme bornes 1 et + infini. f'(x) est positif. f(x) est strictement croissante.
4 et 5 je n'arrive pas du tout..
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23 Décembre 2009 19:24:03

Citation :
alors pour l'ensemble de définition j'ai trouver [1, + infini[
explication: x^3-x^2 >0 équivaut à x²(x-1)>0

Attention! x doit être strictement supérieur à 1 donc l'ensemble de définition commence à 1 exclu.

Condition :
x^3-x^2 >0
x²(x-1) > 0
x² est toujours positif donc le signe de l'expression dépend de l'expression (x - 1)
x - 1 > 0
x > 1

==> Df = ]1; +∞[

Citation :
Donc ln(y) > 0 si x>1
C'est inutile de dire ça et c'est faux!
Exemple : 1,1 > 1
f(1,1) = ln(1,1^3 - 1,1²) = ln(0,121) ≈ -2,1119
-2,1119 < 0 donc pas bien!



Citation :
2. lim f(x) en 1+ = 0 mais je ne suis pas sûr
lim f(x) en + infini = + infini je ne suis pas sur non plus.
3.f'(u) = u'/u donc je trouve bien 3x-2/x(x-1)

Il faut que tu détailles tes calculs et ça t'évitera de faire des erreurs.

Exemple pour le calcul de la 1ère limite :
==> lim f(x) en 1+
f(x) = ln[x²(x-1)]

lim x² = 1
x --> 1+

lim x - 1 = 0+
x --> 1+

Donc lim x²(x - 1) = 0+
x --> 1+

Et lim ln[x²(x-1)] = -∞
x --> 1+


A toi de détailler tes calculs pour la 2ème limite et le calcul de la dérivée.
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0
l
23 Décembre 2009 20:20:33

Merci

je ne comprends pas à la fin pourquoi lim ln[x²(x-1)] = -∞
x --> 1+

Pour lim f(x) en +∞

lim x² = +∞
x --> +∞

lim x - 1 = +∞
x --> +∞

Donc lim x²(x - 1) = +∞
x --> +∞

Vérifier que f'(x) = 3x-2/x(x-1)
J'applique u'/u 3x²-2x/x^3-x² = 3x-2/x²-x=3x-2/x(x-1)
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0
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23 Décembre 2009 20:40:24

coci a dit :
Merci

je ne comprends pas à la fin pourquoi lim ln[x²(x-1)] = -∞
x --> 1+


Ok, je vais te détailler mon raisonnement. Est-ce que tu as compris comment j'arrive à cette étape?
Donc lim x²(x - 1) = 0+
x --> 1+

"0+" correspond à un nombre très petit positif tel que 0,0000000000000001 ou 0,000000000000000000000000254 ou 1/175413398125
Pour trouver la limite de ln[x²(x-1)], il faut donc que tu donnes la limite du logarithme d'un nombre très petit positif. Si tu n'arrive pas à conclure ou si ce n'est pas clair, il te suffit de remplacé 0+ par un nombre très petit positif.
Exemples :
ln(0,00000000000000000001) = -46,0517019
ln(0,000000000000000000000000000001) = -69,0775528
Donc plus le nombre est petit, plus le nombre négatif est important.

Je peux donc conclure :
Et lim ln[x²(x-1)] = -∞
x --> 1+

Je pense qu'il y a des règles sur le logarithme népérien que tu n'as pas encore intégrées :
ln(1) = 0
ln(x) < 0 si 0 < x < 1

J'espère que c'est plus clair?


Citation :
Pour lim f(x) en +∞

lim x² = +∞
x --> +∞

lim x - 1 = +∞
x --> +∞

Donc lim x²(x - 1) = +∞
x --> +∞
C'est juste mais dans ce cas la, il est plus rapide d'utiliser la forme non factorisée de f(x).
f(x) = ln(x^3 - x²)

lim x^3 - x² = lim x^3 = +∞ (la limite d'un polygone en +∞ ou -∞ correspond à la limite du facteur de plus haut degré)
x --> +∞

Donc :
lim ln[x^3 - x²] = +∞
x --> +∞

Citation :

Vérifier que f'(x) = 3x-2/x(x-1)
J'applique u'/u 3x²-2x/x^3-x² = 3x-2/x²-x=3x-2/x(x-1)
Ok, c'est plus clair.


Maintenant, je te mets sur la voie pour la question suivante :
Citation :
4)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet sur I=]1;+infini] une solution unique xindice0. Donner la valeur arrondie de xindice0 à 0,01 près.
Démontrer que f(x) est strictement positif sur ]xindice0;+infini[

Il faut simplement que tu résolves l'équation f(x) = 0
Soit ln(x^3 - x²) = 0
A toi de jouer :) 
(Indice : utilise l'exponentiel pour supprimer le logarithme)
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23 Décembre 2009 20:44:37

J'ai tout à fait compris merci !! est-ce correct ce que j'ai fait pour les variations de f à la question 3 ?
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23 Décembre 2009 20:48:28

excusez moi je n'avais pas vu la suite du message ...
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23 Décembre 2009 20:52:20

Citation :
3.f'(u) = u'/u donc je trouve bien 3x-2/x(x-1)
j'ai fait le tableau de signe de f'(x) avec comme bornes 1 et + infini. f'(x) est positif. f(x) est strictement croissante.

Oui, c'est juste mais j'espère que tu as bien détaillé ton tableau de variation.

Je te rappelle l'ensemble de définition : Df = ]1; +∞[

(3x - 2) est positif sur ]1; +∞[
x est positif sur ]1; +∞[
Le signe de f'(x) sur ]1; +∞[ dépend donc de (x - 1)
(x - 1) est positif sur ]1; +∞[

Donc f'(x) est positif sur ]1; +∞[ et f(x) est strictement croissante.
==> ajoute les limites des 2 côtés de ta flèche.
-∞ ------------------> +∞


Pour la suite, je t'ai mis un indice pour la question 4 dans mon précédent message. Essaie et écris sur le forum si tu bloques.
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23 Décembre 2009 20:58:23

Pour la question 4, j'avais fait ceci:
F est dérivable et strictement croissante sur ]1;+∞ [
Alors f prend toute valeur comprise entre f(1) et f(+∞ ). Donc pour tout réel k compris entre f(1) et f(+∞ ) l'équation f(x)=0 admet exactement une solution qui appartient ]1;+∞ [ k=0 appartient ]1;+∞ [
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23 Décembre 2009 20:59:18

merci pour la réponse à ma question précédente
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23 Décembre 2009 21:07:00

Est ce que tu as déjà vu l'exponentiel en cours?
e^x
e^u
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23 Décembre 2009 21:11:25

oui très peu, je ne rien compris de ce que c'était...
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23 Décembre 2009 21:44:31

coci a dit :
Pour la question 4, j'avais fait ceci:
F est dérivable et strictement croissante sur ]1;+∞ [
Alors f prend toute valeur comprise entre f(1) et f(+∞ ). Donc pour tout réel k compris entre f(1) et f(+∞ ) l'équation f(x)=0 admet exactement une solution qui appartient ]1;+∞ [ k=0 appartient ]1;+∞ [

Oui, tu peux passer par ce genre de démonstration. Je vais quand même la reformuler car tu as fait quelques erreurs de rédaction.

F est dérivable, continu et strictement croissante sur ]1;+∞ [

Par conséquent, x prend une fois et une seule chaque valeur comprise dans l'intervalle ]1;+∞ [.
De plus,
- 0 ∈ ]-∞; +∞ [
- lim f(x) = -∞
x --> 1+
- lim f(x) = +∞
x --> +∞
==> f(x) coupe un fois (et une seule fois) la droite d'équation y = 0
Donc l'équation f(x) = 0 admet une solution x0 (et une seule), x0 ∈ ]1;+∞ [.


T'as des idées pour estimer la valeur de x0?
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0
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23 Décembre 2009 21:52:58

c'est à dire ? que faut-il que je fasse ?
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23 Décembre 2009 22:02:20

coci a dit :
c'est à dire ? que faut-il que je fasse ?

Par soucis de clarté, le nombre que tu as appelé "k" correspond à x0 (j'ai corrigé ma notation dans mon précédent message).

Et il faut que tu estimes ce x0.
Il faut que tu trouve quand f(x) = 0
ln(x^3 - x²) = 0
Vu que ln(1) = 0, tu doit trouver quand :
x^3 - x² = 1 (à priori, ça relève de l'estimation)
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23 Décembre 2009 22:04:48

On peut le trouver plus facilement avec la calculatrice non ?
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23 Décembre 2009 22:06:09

coci a dit :
On peut le trouver plus facilement avec la calculatrice non ?

Oh que oui!
x^3 - x² - 1 n'a pas de solution évidente (pas de factorisation facile) donc la calculatrice est de rigueur ^^
m
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23 Décembre 2009 22:10:03

D'accord merci.
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23 Décembre 2009 22:14:32

Pouvez vous me dire comment faire pour la 5..
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23 Décembre 2009 22:19:26

coci a dit :
Pouvez vous me dire comment faire pour la 5..

Pitié, pas de vouvoiement, on est sur un forum ^^

Alors pour la 5 :
Citation :
5) soit h la fonction définie sur l'intervalle I par : h(x)=2xlnx+(x-1)ln(x-1)
Calculer h'(x). En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.


Dans un premier temps, tu calcules h'(x).
Tu auras besoin des formules de dérivée suivantes :
[ln(u)]' = u'/u
(uv)' = u'v + uv'

Et tu devrais trouver des similitudes entre h'(x) et f(x).
m
0
l
23 Décembre 2009 22:24:06

Je TE remercie ! :) 
m
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23 Décembre 2009 22:26:29

Pour h'(x) je trouve 2lnx + 3 + ln(x-1) je ne suis pas certaine ..
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23 Décembre 2009 22:36:27

coci a dit :
Pour h'(x) je trouve 2lnx + 3 + ln(x-1) je ne suis pas certaine ..

Oui, c'est ça mais n'oublie pas de bien détailler tes calculs! Les profs de maths sont en général très pointilleux...

Maintenant, il faut que tu simplifies ton expression en te servant des règles de calcul sur le logarithme. Dans ton cas, il y en a 2 à utiliser :
- ln(u^n) = n*ln(u)
Exemple : ln(x²) = 2ln(x)

- ln(u) + ln(v) = ln(u*v)
Exemple : ln(6) + ln(x) = ln(6x)

L'idée, c'est de regrouper tous les ln et d'avoir le 3 tout seul.
m
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23 Décembre 2009 22:48:02

je trouve ln(x²)+ ...+3 en réalité je ne sais pas comment simplifier ln(x-1)
m
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23 Décembre 2009 22:50:05

Ok, t'as compris comment utiliser la règle ln(u^n) = n*ln(u).

Maintenant tu peux appliquer la règle ln(u) + ln(v) = ln(u*v) car tu as ln(x²) + ln(x-1) + 3
m
0
l
23 Décembre 2009 22:52:24

Ahhhh d'accord je ne savais pas où l'appliquer
m
0
l
23 Décembre 2009 22:54:36

Donc je trouve ln[(x²(x-1)] +3, 3 est en trop est-ce grave ?

Ou alors cette fonction sont Les primitives de la fonction f
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0
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23 Décembre 2009 22:57:21

coci a dit :
Donc je trouve ln[(x²(x-1)] +3, 3 est en trop est-ce grave ?

Ou alors cette fonction sont Les primitives de la fonction f

Le 3 est là pour quelque chose.

Tu dois maintenant être capable de trouver F(x), la primitive de f(x).
m
0
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23 Décembre 2009 23:00:40

Il faut que j'applique une des formules pour trouver une primitive ?
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0
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23 Décembre 2009 23:05:01

coci a dit :
Il faut que j'applique une des formules pour trouver une primitive ?

Je vais te mettre un peu sur la voie (sous forme d'un pendu à chaque erreur).

Tu viens de faire ce calcul :
h(x) = 2xlnx+(x-1)ln(x-1)
h'(x) = 2ln(x) + 2 + ln(x-1) + 1
h'(x) = 2ln(x) + ln(x-1) + 3
h'(x) = ln(x²) + ln(x-1) + 3
h'(x) = ln[x²(x-1)] + 3
A partir de là, peux tu me dire le rapport qu'il y a entre ln[x²(x-1)] + 3 et f(x) ?



_____
∣ ∣
∣ o





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0
l
23 Décembre 2009 23:14:15

le rapport est que ln[x²(x-1)] + 3 = f(x)+3 ....
m
0
l
23 Décembre 2009 23:20:09

coci a dit :
le rapport est que ln[x²(x-1)] + 3 = f(x)+3 ....

Et vu que h'(x) = f(x) + 3

Tu dois être en mesure de trouve la primitive de f(x).
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23 Décembre 2009 23:35:35

D'accord
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23 Décembre 2009 23:44:12

coci a dit :
D'accord

Tu t'en sors?
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24 Décembre 2009 00:01:30

Voilà la réponse :

h'(x) = ln[x²(x-1)] + 3

h'(x) = f(x) + 3
f(x) = h'(x) - 3


Soit F(x) la primitive de f(x) donc :
F'(x) = f(x)
F'(x) = h'(x) - 3
F(x) = h(x) - 3x
F(x) = 2xlnx+(x-1)ln(x-1) -3x

Et petit bémol, on te demande une primitive de f(x) donc il faut que tu ajoutes un nombre quelconque noté "k" à ta primitive (qui vaudra 0 quand tu dériveras).
==> F(x) = 2xlnx+(x-1)ln(x-1) -3x + k

Et c'est gagné ^^


Mais malheureusement pour toi, tu es pendue :

______
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∣ o
∣/∣\
∣ /\



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0
l
27 Décembre 2009 09:27:58

Désolé pour mon absence, problème d'ordi ! Merci beaucoup j'étais encore une fois bloquée, je n'arrivais pas !
m
0
l
27 Décembre 2009 09:33:45

il y a une suite à ce problème... je vais le faire, pourras-tu me corriger ?

On considère une machine produisant un composé chimique liquide. Pour qu'elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 2 hectolitres. De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine.

Pour tout x de l'intervalle [2;9], la valeur du coût marginale c(x), exprimé en milliers d'euros, est donnée par c(x)= ln(x^3-x^2) et C(x) est le coût total de fabrication de x hectolitres de liquide.

Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est 10 milliers d'euros ou C(2)= 10

1. Déterminer le coût total C(x) en fonction x
2. Calculer C(9)-C(2). On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à l'euro près.
m
0
l
27 Décembre 2009 14:43:18

coci a dit :
il y a une suite à ce problème... je vais le faire, pourras-tu me corriger ?

On considère une machine produisant un composé chimique liquide. Pour qu'elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 2 hectolitres. De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine.

Pour tout x de l'intervalle [2;9], la valeur du coût marginale c(x), exprimé en milliers d'euros, est donnée par c(x)= ln(x^3-x^2) et C(x) est le coût total de fabrication de x hectolitres de liquide.

Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est 10 milliers d'euros ou C(2)= 10

1. Déterminer le coût total C(x) en fonction x
2. Calculer C(9)-C(2). On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à l'euro près.

Vu que c(x) = f(x) et C(x) = F(x), il faut juste que tu utilises ce que tu as fait dans les parties précédentes. Essaie de le faire et on t'aidera si tu bloques.
m
0
l
27 Décembre 2009 15:26:54

C(x)= 2xlnx + (x-1)ln(x-1)-3x+k Pour la 1, il n'y a rien à changer.
2. C(9)=18ln9 + 8ln8 -27
C(9) - C(2) = 18ln9 + 8ln8 -17
m
0
l
27 Décembre 2009 15:41:54

coci a dit :
C(x)= 2xlnx + (x-1)ln(x-1)-3x+k Pour la 1, il n'y a rien à changer.
Héhé :whistle: 
Et si, il y a quelque chose à changer!

Je te remets la partie de l'énoncé qu'il ne faut surtout pas manquer :
Citation :
Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est 10 milliers d'euros ou C(2)= 10



C(x)= 2xlnx + (x-1)ln(x-1)-3x+k
Dans ce cas là, k est quelconque et il peut donc avoir n'importe quelle valeur : 2, 5, 129, 19753...etc. On va donc dire que l'expression représente TOUTES les primitives de c(x).
Dans l'énoncé, on t'a indiqué la valeur C(2) = 10, ce qui signifie que l'on cherche UNE primitive en particulier. Tu vas donc devoir chercher pour quelle valeur de k, C(2) = 10

A ton avis, comment est-ce que tu dois t'y prendre?
m
0
l
27 Décembre 2009 15:47:13

Je pense que je dois faire comme ceci : C(2) +k=10

4ln2 + ln-6 +k =10
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