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Votre question
Résolu

Devoir de maths

Dernière réponse : dans Etudes - Travail
28 Décembre 2009 17:24:53



Autre Problème
A. La fonction h est définie sur I=[0;8] par h(x)=x^2 + 16x/2x+1 - 8ln(2x+1)
1. Calculer h'(x)
2. Etudier les variations de h sur l'intervalle I.
3. Montrer que l'équation h(x)=0 a une unique solution x0 dans l'intervalle [3/2;8]. Déterminer une valeur approchée de x0 arrondie à 0,01 près.
4. Déduire des résultats précédents le signe de h sur l'intervalle I.


Voici ce que j'ai fait :
1. h(x)= x^2+16x/2x+1- 8ln(2x+1)
h'(x)= 2x+ (32x+16-32x)/(2x+1)^2 -16/2x+1
h'(x)= (2x(2x+1)^2 +32x+16-32x-16(2x+1))/ (2x+1)^2
h'(x)= (2x(2x+1)^2-32x)
h'(x)=(2x(4x^2+4x+1)-32x)/(2x+1)^2
h'(x)= (8x^3 +8x^2-30x)/(2x+1)^2
h'(x)=x(8x^2+8x-30)/(2x+1)^2

2. Les variations de h : j'ai fait le tableau de signe J'ai trouvé h décroissante sur [0;3/2] et h croissante sur [3/2;8]

3. H est dérivable, continu et strictement croissante sur [3/2;8] donc f prend toute valeur comprise entre f(3/2) et f(8) une fois.
Pour tout réel k compris entre f(3/2) et f(8) l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0 appartient à ]3/2;8[ donc k appartient à ]3/2;8[

Valeur approchée de x0 arrondie à 0,01 près 2,92<x<2,93

4. signe de h
négatif sur [0; x0] positif sur [x0;8]

Autres pages sur : devoir maths

28 Décembre 2009 17:39:34

Ca a l'air juste...
m
0
l

Meilleure solution

28 Décembre 2009 18:26:07

coci a dit :
Voici ce que j'ai fait :
1. h(x)= x^2+16x/2x+1- 8ln(2x+1)
h'(x)= 2x+ (32x+16-32x)/(2x+1)^2 -16/2x+1
h'(x)= (2x(2x+1)^2 +32x+16-32x-16(2x+1))/ (2x+1)^2
h'(x)= (2x(2x+1)^2-32x)
h'(x)=(2x(4x^2+4x+1)-32x)/(2x+1)^2
h'(x)= (8x^3 +8x^2-30x)/(2x+1)^2
h'(x)=x(8x^2+8x-30)/(2x+1)^2

C'est juste mais il faut que tu factorises 8x^2+8x-30.

1. h(x)= x² + 16x/(2x + 1) - 8ln(2x+1)
h'(x) = 2x + (32x + 16 - 32x)/(2x + 1)² -16/(2x + 1)
h'(x) = 2x + 16/(2x + 1)² -16/(2x + 1)
h'(x) = [2x(2x + 1)²]/(2x + 1)² + 16/(2x + 1)² -[16(2x + 1)]/(2x + 1)²
h'(x) = {[2x(2x + 1)²] + 16 - 32x - 16}/(2x + 1)²
h'(x) = [2x(4x² + 4x + 1) - 32x]/(2x + 1)²
h'(x) = (8x^3 + 8x² + 2x - 32x)/(2x + 1)²
h'(x) = (8x^3 + 8x² - 30x)/(2x + 1)²
h'(x) = [2x(4x² + 4x - 15)]/(2x + 1)²


Tu peux factoriser 4x² + 4x - 15
∆ = b² - 4*a*c
∆ = 4² - 4*4*(-15)
∆ = 16 + 240
∆ = 256

Remarque : √256 = 16

J'ai donc 2 racines :
x1= (-b + √∆)/(2*a) = (-4 + 16)/(2*4) = 12/8 = 3/2
x2= (-b - √∆)/(2*a) = (-4 - 16)/(2*4) = -20/8 = -5/2

Et je factorise l'expression sous cette forme : a(x + x1)(x - x2)
==> 4x² + 4x - 15 = 4(x - 3/2)(x + 5/2)

Donc :
h'(x) = 2x*4(x - 3/2)(x + 5/2)/(2x + 1)²
h'(x) = 8x(x - 3/2)(x + 5/2)/(2x + 1)²

coci a dit :
2. Les variations de h : j'ai fait le tableau de signe J'ai trouvé h décroissante sur [0;3/2] et h croissante sur [3/2;8]

Oui, c'est bien ça.

coci a dit :
3. H est dérivable, continu et strictement croissante sur [3/2;8] donc f prend toute valeur comprise entre f(3/2) et f(8) une fois.
Pour tout réel k compris entre f(3/2) et f(8) l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0 appartient à ]3/2;8[ donc k appartient à ]3/2;8[
Bof bof...
Je te renvoie vers ton exercice précédent pour une démonstration bien clair.

coci a dit :
170315,1,1222459 a dit :
4. signe de h
négatif sur [0; x0] positif sur [x0;8]
a dit :
Ouais, c'est ça l'idée.
partage
28 Décembre 2009 19:32:32

Merci
m
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