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Aide math MP

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Dernière réponse : dans Etudes - Travail
3 Septembre 2010 22:04:05

Bonjour a tous, j'aimerais que l'on m'aide a résoudre cette exercice, chaque piste, chaque indice sera le bien venu.

Soit F et G deux sous espaces d'un espace E de dimension finie, égale a n. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe u dans L(E) tel que Im u= F et Ker u= G.

Merci de votre aide.

Autres pages sur : aide math

4 Septembre 2010 13:18:42

ker u désigne des antécédents
Im u désigne des images
mis à part discuter des conditions du genre 'fo pas que F soit vide quand G ne l'est pas et que F contienne alors l'élément nul'.
ou si u est définie sur E entier (je me souviens plus si L(E) contient les fonction définies sur E entier ou si une partie suffie)


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Meilleure solution

6 Septembre 2010 11:02:10

Salut

Citation :
F contienne alors l'élément nul

Un sous espace vectoriel contient FORCEMENT l'élément nul !


Déjà le théorème du rang te donne une condition nécessaire sur les dimensions de F et G (dimF+dimG=n)

Réciproquement, si on se donne 2 espaces tels que la somme des dimensions fait n, alors il faut voir si on peut construire une telle application u :

Pour cela, on peut s'offrir le luxe de se donner une base B de G composée de k vecteurs, et de la compléter pour avoir une base de E en lui adjoignant une famille libre de vecteurs B' de n-k vecteurs (thm de la base incomplète)
On définit totalement u en définissant les images de chaque vecteur de base :

on veut alors que u(B)={0}
et on veut que u(B')=F
et que u soit linéaire.

B' contient n-k vecteurs, et F est de dimension n-k par hypothèse, il suffit d'envoyer chaque vecteur de B' sur un vecteur d'une famille libre décrivant F. u(B)={0} ne contredit pas la linéarité

Bref, il faut et il suffit que dimF+dimG=n
partage
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6 Septembre 2010 19:58:15

J'avais zappé le L(E) disant que l'application était linéaire, alors forcément je pouvais inventer n'importe quoi en fonction.
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10 Septembre 2010 18:36:47

Finalement la CNS étant juste le théo du rang, il suffisait de démontrer que s'était suffisant.
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10 Septembre 2010 18:37:42

Merci quand meme, j'ai reussi a faire la démo, apres qu'un collegue m'ai dis que s'était suffisant.
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10 Septembre 2010 18:37:48

Meilleure réponse sélectionnée par kade_07.
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