Votre question
Résolu

Inéquation polynomiale avec X=cos(x)

Tags :
  • Delta
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
4 Octobre 2010 20:36:05

Bonsoir,
J'ai une équation à résoudre mais je ne sais pas comment commencer. Je pense qu'il va falloir réduire l'intervalle d'étude, mais comment??? Et comment le justifier?
L'inéquation est la suivante 6(cos(x))^2+cos(x)-1>=0, en posant X=cos(x), on obtient:
6X^2+X-1>=0
Merci de votre aide.

Autres pages sur : inequation polynomiale cos

4 Octobre 2010 20:53:39

Bonsoir,

Il faut que tu poursuives avec une étude de signe sur la fonction que tu as révélé !

Tiens, même Wikipédia donne la méthode.

Alors commence par déterminer les racines de 6X^2+X-1=0

Après tu peux essayer de faire un tableau de signes.

Poursuit, si tu as besoin de vérifications n'hésite pas !
m
0
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6 Octobre 2010 20:12:16

Bonsoir, merci de ton aide RedSux.
Je trouve delta=25, donc il y a deux solution réelles, que l'on notera x1 et x2, et on a:
X1= (-1-5)/12=-1/2 et X2=(-1+5)/12=1/3.
On vérifie, X1+X2=-1/6 et -b/a=-1/6, donc X1+X2=-b/a.
Ainsi, le trinôme est positif en dehors des racines, soit en ]-oo; X1]U[X2;+oo[
C'est juste?? Mais comment passer de X à cos(x) ??
m
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Meilleure solution

6 Octobre 2010 21:13:25

La technique détaillé :

On commence par calculer le discriminant Δ de 6X²+X-1 = 0:
Rappel pour ax²+bx+c = 0 : Δ = b² - 4ac

Soit Δ = 1² - 4*6*(-1) = 1 - 4 * (-6) = 1 - (-24) = 1 + 24

Donc Δ = 25

Le discriminant étant strictement positif, l'équation admets 2 racines réels !

On poursuit avec le calcul des racines (sqrt = racine carré):
Rappel pour ax²+bx+c = 0 :
x1 = ( -b - sqrt(Δ) ) / 2a
x2 = ( -b + sqrt(Δ) ) / 2a

Donc pour nous, Δ = 25 donc sqrt(Δ) = 5.

X1 = (-1 + (-5)) / 2*6 = (-1 - 5) / 12 = -6 / 12
X2 = (-1 - (-5)) / 2*6 = (-1 + 5) / 12 = 4 / 12

Donc X1 = -1/2 et X2 = 1/3

Ton résultat pour les racines est bon !

Maintenant pour le signe, on va essayer de ce faciliter la tâche on va factoriser le polynôme grâce aux racines :
ax² + bx + c = a (x - x1)(x - x2)

Et le signe devient :


Donc en effet, ton polynôme est positif sur l'intervalle suivant : ]-inf; X1]U[X2;+inf[

Maintenant, comment convertir notre intervalle en angle :

-1 < cos(x) < -1/2
1/3 < cos(x) < 1

Tous les angles vérifiant l'un de ces 2 intervalles est conforme à l'inéquation du début.

C'est résolu à peut près comme ça ... C'est tout ;) 
partage
6 Octobre 2010 21:15:55

Meilleure réponse sélectionnée par kamel77.
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l
6 Octobre 2010 21:17:54

Merci beaucoup pour ton aide!!!
J'ai tout compris à présent :) 
m
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