Maths: Calcul de Pi par la formule de Leibniz

Bonjour,

D'abord, je précise que je ne suis pas étudiant, et que donc ce n'est pas "urgent".  
En fait, c'est parce que ça fait un petit moment que j'ai arrêté les études que je pose la question qui va suivre.  

Bref, j'ai tenté de faire un calcul approché de Pi par la formule de Leibniz : Pi / 4 = Somme[i de 0 à infini]( (-1)^i / (2i+1) ) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9...

Comme je fais un calcul approché, j'utilise évidemment un nombre fini d'éléments. J'ai remarqué qu'avec 10000 termes, 1 seul chiffre (en base 10) au milieu était différent (voir le premier résultat plus bas).
Du coup, j'ai remarqué que pour n termes, j'obtenais une bien meilleure approximation si j'ajoutais (-1)^n / n à 4 * Somme[i de 0 à n]( (-1)^i / (2i+1) )

Voici un exemple de script python illustrant le problème:

import math

 
#Calcul approché de Pi par la formule de Leibniz classique

def p(n):

  r=0

  for i in range(0,n):

    r += (-1)**i / (2*i+1)

  return r

 
#Calcul avec la correction

def corPi(n):

  return p(n)*4 + (-1)**n / n

 
#Affichage de résultats

print('classic:  ', p(10000)*4, '\ncorrected:', corPi(10000), '\nsystem:   ', math.pi)

print('classic:  ', p(300)*4, '\ncorrected:', corPi(300), '\nsystem:   ', math.pi)

print('classic:  ', p(321)*4, '\ncorrected:', corPi(321), '\nsystem:   ', math.pi)

Voici les résultats pour n=10000:
=> 3.14149265359

Voici les résultats pour n=100:
=> 3.131592

Voici les résultats pour n=321:
=> 3.1447079

Du coup, j'ai pensé que 4 * Somme[i de n à infini]( (-1)^i / (2i+1) ) tendait vers (-1)^n / n, mais ce n'est évidemment pas un calcul approché qui va prouver quoi que ce soit.

Alors, quelqu'un aurait-il une idée pour résoudre ce problème ?
Ce n'est peut-être qu'une question de bornage.

Pour info un script pour vérifier ceci:

def pr(n,m):

  r=0

  for i in range(n,m):

    r+=(-1)**i / (2*i+1)

  return r

Donne en résultat:



De toutes façons, même avec cette correction, ce n'est probablement pas la meilleure méthode pour calculer pour calculer Pi.