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Résolu

Division par zéro

Dernière réponse : dans Etudes - Travail
16 Mars 2015 21:55:22

Pour moi , la définition de la division n'est pas correcte. Quand on achète une tarte et qu'on la divise par Zero, c'est à dire qu'on ne la coupe pas, elle reste entière. Or 1/0 = l'infini. Pour moi c'est une grosse connerie
Parce que si on ne touche pas à la tarte, càd qu'on la divise par zéro, elle reste elle même càd 1, une entité. Donc pour moi 1/0 =1 et pas l'infini

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Meilleure solution

17 Mars 2015 07:31:17

Hello,
Il s'agit, en réalité, d'un débat passionnant, OlivierTim09, et c'est vraiment encourageant de voir que tu t'y intéresses.

Tout d'abord, tu as à 100% raison, un nombre / 0 n'est pas EGAL à l'infini : premièrement, l'infini n'est pas un nombre, mais le résultat d'une limite, mais en plus, on ne peut pas dire qu'il est égal parce que comme tu l'as dit, ce n'est pas le cas.

Laisse-moi être plus clair, d'abord philosophiquement, puis mathématiquement.
• Le mot 'infini' laisse bien entendre que quelque soit le nombre auquel tu puisses penser, l'infini sera forcément plus grand.
Alors que le symbole égal est en quelque sorte une énigme: je pense à un nombre dont le résultat est 6/3 (par exemple), après le égal se trouvera le nombre exact qui répond à l'équation.
Or l'infini est précisément toujours plus grand que quoi ce soit auquel on puisse penser! Donc il ne peut figurer après un symbole =. Parce que le symbole = est sacré et que rien ne peut être égal à l'infini.
Par contre, il y a un autre symbole avec lequel l'infinite s'applique super bien, c'est le symbole <. En effet, la définition des nombres réels est -∞ < x < +∞. N'importe quel nombre est plus grand que -∞ et plus petit que +∞. Mais aucun n'en est égal! (sinon le symbole serait ≤, plus petit et égal)


• Mathématiquement, le résultat d'une division peut s'obtenir de diverses façons: d'abord, en faisant une série de soustractions.
- En effet, 6/3 revient à demander "combien de fois je peux retirer 3 de 6 pour arriver à 0 (ou à un reste)".
6-3 = 3
3-3 = 0
J'ai pu retirer 2 fois 3 de 6. La réponse est donc 2.

Dans 15/4
15-4 = 11
11-4 = 7
7-4 = 3
Il reste 3! (parce que je ne peux pas retirer 4 à nouveau de 3 sans aller dans les négatifs et que la règle est d'arriver à 0)

Si on essaye d'utiliser cette méthode en divisant par 0, tu comprends pourquoi on est tenté de dire que ça tend vers l'infini: Je peux retirer 0 de 6 autant de fois que je veux, je n'arriverai jamais.
En fait, sur le terrain, 6/0 donne 0 avec un reste de 6. Parce qu'on s'arrête immédiatement (=0) et on regarde le reste (6), et on continue bien de se dire que c'est idiot de diviser par 0 : nous n'avons rien retiré. Donc comme tu le dis, si de 6 je divise par 0 en réalité il me reste 6, et pas l'infini.

En fait, si tu mets x/0 = une réponse,
ta réponse ne sera en fait égale qu'à ton erreur, à quel point tu te trompes dans ta tentative vaine et futile de retirer rien du tout de quelque chose. Mettons que tu essayes 100 fois, bah x/0=100 et reste x. Là, ton symbole égal est efficace.




Il y a une autre raison pour laquelle on ne peut en aucun cas dire qu'un nombre divisé par zéro donne l'infini.
Parce qu'il y a une propriété de la division et du symbole égal qui est qu'on peut envoyer les éléments de l'autre côté, l'équation reste correcte.
6/3=2
6=2*3
On a envoyé le 3 de l'autre côté de l'égal, il est devenu *
OR, si tu dis que 6/0=∞ ET que 4/0=∞ ET que 12434/0 = ∞
Tu devrais pouvoir dire que ∞*0 = 6,4,12434... Or, ce n'est pas le cas, ∞*0 est ce qu'on appelle une indétermination. On ne peut pas résoudre une telle équation parce que le symbole ∝ ne peut jamais se retrouver avec un égal (à quelques exceptions près en physique lorsque, par exemple, on va considérer que le soleil est à l'infini pour simplifier la géométrie que l'on étudie et que les rayons arrivent parallèlement vers le sol... mais c'est tout!)


• MAIS ALORS, pourquoi on dit que /0 tend vers l'infini?
Parce qu'on n'étudie pas la division, mais l'ensemble des solutions possibles d'une division.

Je t'invite, afin de découvrir ce chouette outil, à taper y=1/x sur Google.
Tu vas pouvoir voir le graphique de l'ensemble des divisions possibles de 1. Donc sur ce graphe, tu retrouves 1/par 2 comme 1/0,25, comme 1/-546321. Ce graphe montre TOUTES les solutions.
Or, comme tu peux le voir, il y a un endroit où la droite ne va JAMAIS. C'est sur l'axe x. Il s'en rapproche, il s'en rapproche de plus en plus, mais il ne le touche jamais.

Alors, des mathématiciens comme Euler se sont demandés comment on peut "découvrir" en quel point de x y=0, autrement dit, quel est le résultat de 1/0. Et pour cela, il faut regarder dans quelle direction va la droite quand on diminue x pour s'approcher de 0, histoire de voir comment le résultat se comporte et essayer de "deviner" le résultat qui suit par logique.
Alors, essayons 1/0,1 = 10
1/0,01 = 100
1/0,001 = 1000
1/0,00000000001 = 100000000000
1/0,0000000000000000000000000001 = 1000000000000000000000000000
Tu vois où on veut en venir?
Plus on divise par un nombre petit, plus le nombre obtenu devient grand. On dit donc que lim 1/x pour x tend vers 0 donne l'infini. (à nouveau, pas égal!)
Ce que ça veut dire, c'est que l'outil mathématique appelé 'limite' pour découvrir jusqu'où va la courbe sur le graphique te répond qu'il continue sans s'arrêter vers la droite, ergo +∞
Mais aussi, on peut faire ça dans les négatifs. La limite de 1/x pour x s'approche de 0 mais en venant de l'autre sens, 1/-0,01, etc. .. et ça donne -∞ comme résultat !

En ce sens, tu peux considérer les limites comme une tentative "brute force" de trouver le résultat. On va essayer de retirer 0 de 1 autant de fois que nécessaire, peu importe le temps, l'effort et l'énergie requis pour obtenir le résultat. Et là, tu seras d'accord avec moi que si on ne se pose aucune limite de nombre de tentatives de retirer 0, on peut en effet ne jamais s'arrêter. Et c'est là qu'intervient ton symbole ∞.




Alors mathématiquement, qu'est-ce que cela signifie?

Cela signifie qu'il y a plusieurs types d'infinis, en tant que résultat, et pas un seul. Effectivement, ∞ n'est pas un nombre, il n'est pas le résultat d'une équation, c'est une idée pour représenter le comportement d'une fonction. Lorsque l'on dit que le résultat tend vers l'infini, on sait que le résultat deviendra de plus en plus grand sans s'arrêter, mais en pratique, c'est bien entendu la valeur de départ qui va influencer le résultat, donc lorsque l'on peut mettre un signe égal (donc en dehors de tout ce qui est limites, qui est un outil mathématique à part), on ne peut jamais mettre d'infini. Et j'insiste encore là dessus, tu as tout à fait raison, une tarte divisé par zéro ne fait pas l'infini, tout comme les nombres.


Mais il y a aussi l'infini en tant que quantité d'éléments (que tu peux voir sur le graphique qui monte sur l'axe des y: c'est si on divise 1 par un nombre de plus en plus grand... on peut diviser 1 par n'importe combien, on peut même le diviser en atomes). Combien y a-t-il de décimales de pi? Combien y a-t-il de nombre réels entre 0 et 1? L'infini ici repose sur le fait que tant que l'on peut en calculer, on continuera à en trouver. Et cela donne une dimension englobante universelle aux mathématiques : elle peut cerner l'infinité de nombre qui se présentent à nous, et les calculer pour découvrir comment l'Univers se comporte.

C'est un art humble, parce qu'il s'assure toujours d'être exact, de ne jamais se tromper, et toujours accepter les preuves contradictoires comme un signe d'erreur; et c'est un art noble, parce que le mathématicien a l'infini devant lui et le raisonne; ses briques sont l'essence même de l'univers et ses outils sont des preuves irréfutables.



PS: Et avant que tu dises que ça ne sert à rien, je t'invite à découvrir les trous noirs qui sont des preuves physiques de la présence d'un infini mathématique dans l'univers.
Mon équation contient un /0 !
partage
17 Mars 2015 16:26:01

Waouh, j'ai pris la peine de tout lire parce que ça a dû te prendre du temps d'écrire ce gros bloc... :D 
m
0
l
17 Mars 2015 16:30:33

C'est gentil !
Ça me passionne réellement, donc ça a été un plaisir d'y répondre :) 
m
0
l
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