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Résolu

DM sur les fonctions dérivées (1er sti2d)

Tags :
  • Maths
  • Aide aux devoirs
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
18 Avril 2014 07:17:57

Dans un morceau de carton de 12 cm de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x cm de côté.

PARTIE A:
1) quel est l'intervalle des valeurs possibles pour le réel x ?
2) montrer que le volume V(x) de la boîte vaut : V(x)= 4x^3-48x²+144x

PARTIE B:
1) on cherche la ou les valeurs de x pour lesquelles le volume de la boîte vaut 128 cm². montrer que le problème revient à résoudre l'équation 4x^3-48x²+144x=0
2) soit P le polynôme défini par : P(x)= 4x^3-48x²+144x-128
a) montrer que 2 est une racine de P
b) en déduire une factorisation du polynôme O
3) on admet que P(x)= 4(x-2)(x²-10x+16)
a) résoudre l'équation P(x)= 0
b) en déduire la ou les valeurs de x pour lesquelles le volume de la boîtes vaut 128 cm²

PARTIE C:
1) vérifier V'(x) et dresser le tableau de variations de la fonction V sur l'intervalle [0;6]
2) a) en déduire la ou les valeurs de x pour lesquelles le volume de la boîte est maximal
b) quel est ce volume maximal?

Aidez moi s'il vous plait, j'suis totalement perdu...
Merci d'avance :) 

Autres pages sur : fonctions derivees sti2d

18 Avril 2014 09:11:24

Tu as déja fait lesquelles ?
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Meilleure solution

a c 252 O Aide aux devoirs
18 Avril 2014 09:13:37

Bonjour,
A1) x est au maximum égal à la moitié du côté donc x € [0;6]

A2) Il faut calculer chaque dimension de la boîte. La longueur et la largeur sont 12-2x et la hauteur est x. Tu en déduis V(x).

B1) On cherche x tel que V(x)=128 soit 4x^3-48x²+144x=128
Donc 4x^3-48x²+144x-128=0 (attention tu as mal recopié l'énoncé)

B2a) Tu remplaces x par 2 dans P(x)

B2b) Si x=2 est solution de P(x)=0, ça veut dire que (x-2) peut être mis en facteur
P(x)=4x^3-48x²+144x-128=4x^3-8x²-40x²+80x+64x-128=4x²(x-2)-40x(x-2)+64(x-2)=(x-2)(4x²-40x+64)=4(x-2)(x²-10x+16)

B3a) Il faut trouver les solutions de x²-10x+16=0
x²-10x+16=x²-2*5*x+25-25+16=(x-5)²-9 c'est de la forme a²-b² : tu peux donc la factoriser facilement
Tu trouves donc les solutions pour P(x)=0

B2b) Il y a une racine double et une qui n'est pas dans l'intervalle de définition donc il n'y a en fait qu'une seule valeur de x pour V(x)=128

C1) V'(x)=12x²-96x+144
Il faut trouver les solutions de V'(x)=0 soit
12x²-96x+144=0
<=> x²-8x+12=0
<=> x²-2*4*x+16-16+12=0
<=> (x-4)²-4=0
<=> (x-4+2)(x-4-2)=0
<=> (x-2)(x-6)=0
<=> x=2 ou x=6

Pour trouver le signe de V'(x), il faut étudier le signe de x-2 et x-6.
Comme x € [0;6], x-6 <=0 sur tout l'intervalle considéré.
x-2<0 <=> x<2
x-2>0 <=> x>2
Donc (x-6)(x-2)>0 sur [0;2] et (x-6)(x-2)<0 sur [2;6]

C2a) V est croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;6]. Elle atteint donc son maximum en x=2.

C2b) V(2)=128
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18 Avril 2014 12:17:37

Merci de votre aide, j'aurais une autre question est-ce que pour la A)2) c'est juste si je met : A(x)= (12-2x)² ==> V(x)= x(12-2x)²= x(144-48x+4x²)= 4x^3-48x²+144 ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
18 Avril 2014 13:39:39

Oui, il faut juste préciser ce qu'est A(x)
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20 Avril 2014 02:58:00

Ok, merci :) 
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20 Avril 2014 11:48:32

Excusez moi mais je voudrais savoir vous avez fait comment pour trouver V'(x) à la question C1 ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
20 Avril 2014 18:15:31

La formule générale de dérivation d'une fonction f(x)=k*x^n est f'(x)=k*n*x^(n-1)
donc par exemple 4x^3 se dérivent en 4*3x²=12x²
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