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Résolu

Dm math 1ere S application à la dérivation

Tags :
  • Maths
  • Aide aux devoirs
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
3 Mars 2014 17:32:02

Bonjour,

Voici l'énoncé :


La tangente en M(x;y) à la parabole d'équation y = 1- x2 coupe l' axe (Ox) en A et l' axe (Oy) en B
(x>0, y>0) . Déterminer M pour que l' aire du triangle ABO soit minimale. On pourra conjecturer le
résultat sur Géogebra avant de faire la démonstration.

Il me semble qu'il faille d'abord exprimer l'aire du triangle, puis exprimer la dérivée de cette dernière fonction, étudier son signe, en déduire ses variations et conclure en relevant le minimum ?
Seulement, pour exprimer l'aire, je pense devoir trouver les coordonnées de A pour trouver la distance OA, mais je n'arrive pas à calculer l'équation de la tangente, il y a trop d'inconnues.. !

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Meilleure solution

a c 252 O Aide aux devoirs
3 Mars 2014 18:42:09

Bonjour,
Il faut d'abord exprimer l'équation réduite de la tangente en M. Je note X et Y, les points de cette droite (x et y étant les coordonnées de M).
La tangente est de la forme Y=aX+b
Comme cette droite est tangente à la parabole, son coefficient directeur en M est f'(x)=-2x
Donc son équation réduite est Y=-2x*X+b.
Notons A(Xa;0) et B(0;Yb). La tangente passe par A et B donc A et B vérifient l'équation réduite. On a donc :
Yb=-2x*0+b donc b=Yb
0=-2x*Xa+Yb donc Yb=2x*Xa
L'équation réduite est donc Y=-2x*X+2x*Xa.
Les coordonnées de M sont (x;1-x²) puisque M est sur la parabole.
Comme M est aussi sur la tangente, ses coordonnées vérifient son équation réduite :
1-x²=-2x*x+2x*Xa
<=> 1-x²=-2x²+2x*Xa
<=> 1+x²=2x*Xa
<=> Xa=(1+x²)/2x

L'aire du triangle ABO est Xa*Yb/2 or Yb=2x*Xa donc Aire de ABO = x*Xa²=x*(1+x²)²/(2x)²=(1+x²)²/4x. Notons A(x) cette fonction.
Il ne te "reste" plus qu'à étudier cette fonction.
Je pense qu'il y a pas mal de simplification avec la dérivée d'autant que 0<x<1 mais si tu as des soucis, n"hésites pas, on te donnera un coup de main.
Mais là j'ai plus le temps.
partage
3 Mars 2014 19:30:26

Merci énormément !

Par contre, j'ai du mal à comprendre précisément pourquoi
x*Xa = (x(16x²)²)/(2x)² = ((1+x²)²)/4x ?
Sinon toutes les substitutions, je les comprends, mais pas la fin !
m
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l
Contenus similaires
3 Mars 2014 19:39:08

Ne serait-ce pas plutôt x*Xa² = (x(1+x²)²)/(2x²)² ?
donc = au final (1+x²)²/(4x)² ? :/ 
m
0
l
a c 252 O Aide aux devoirs
4 Mars 2014 08:30:52

Non :
Si Xa=(1+x²)/2x
Xa²=(1+x²)²/4x²
x*Xa²=(1+x²)²/4x
m
0
l
4 Mars 2014 17:42:39

Merci à vous, j'ai trouvé mon erreur !
J'ai donc calculé une dérivée de (3x^4 + 2x² -1)/4x²,
confirmé par le calcul de dérivées du logiciel Geogebra, dans le calcul formel.
Donc pour étudier le signe de cette dérivée, j'ai pensé à poser X=x² pour tomber sur un trinôme du second degré, trouver ses racines, et les élever au carré par la suite, c'est bien ça ?
Ensuite, peut-on dire que 4x² es toujours positif car c'est un carré ?
m
0
l
a c 252 O Aide aux devoirs
4 Mars 2014 18:20:25

La dérivée : OK
En effet 4x² est toujours positif (attention dans ta rédaction à bien exclure 0 de l'intervalle de définition), donc le signe de la dérivée dépend du signe du numérateur.
Tu fais effectivement un changement de variable en X=x² pour résoudre A'(x)=0 mais par contre tu n'élèves pas les racines au carré, elles doivent au contraire être mise à la racine carré car si X=x² alors x= + ou - Racine de X.
En fait tu vas trouver une racine positive et une racine négative. Évidemment seule la racine positive est possible pour x². Cette racine positive te donnera deux solution pour x, une négative et une positive. Par hypothèse, x est compris entre 0 et 1 donc tu auras une unique solution pour x.
m
0
l
4 Mars 2014 18:27:49

J'ai bien : X1 = racine de -1 ou - racine de -1, ce qui n'est pas possible puisqu'une racine de peut pas être négative ?
et
X2 = racine de 1/3 ou - racine de 1/3, or x est compris entre 0 et 1 d'après l'énoncé, donc la seule valeur que je retiens dans le tableau c'est 1/3, avec 0 comme valeur interdite et pour ensemble de définition ]0;1[ ? :) 
m
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l
a c 252 O Aide aux devoirs
4 Mars 2014 18:40:38

Oui c'est ça.
m
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l
4 Mars 2014 20:46:41

Ok, j'obtiens f(x) décroissante sur ]0;1/3] et croissante sur [1/3;1[ ? (les crochets sont bons ?)
Il ne me reste plus qu'à calculer mon minimum à partir de l'expression de f(x), qui est pour un point A de coordonnées (1/3 ; 25/27) ? :) 
m
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l
4 Mars 2014 20:48:28

Non c'est clairement faux par la conjecture que l'on peut faire sur geogebra...
j'ai pourtant calculé ((1+x²)²)/(4x) pour x = 1/3 ...
m
0
l
a c 252 O Aide aux devoirs
5 Mars 2014 08:44:09

J'ai validé un peu vite. La solution n'est pas en 1/3 mais en racine de (1/3) soit 1/racine(3) comme tu l'as d'ailleurs écrit dans ton message d'hier de 18h27. C'est ensuite que j'ai laissé passer la coquille du 1/racine(3) en 1/3.
J'ai tracé A(x) et son minimum est bien vers 0,577
Ca donne donc un point de 1-x² en (1/racine3;2/3) et l'aire de ABO est 4*racine(3)/9
m
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l
5 Mars 2014 14:47:27

D'accord, je comprends mieux mon erreur ! Là du coup oui, ça fonctionne.
Une dernière question : dans le tableau de variations, je n'entre pas l'ordonnée pour x = 1 puisque celui-ci est exclu de mon ensemble de définition ? Je n'ai donc que les flèches et mon minimum de (4racine de 3)/9 ?

Merci infiniment, en tous cas!
m
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Mars 2014 19:33:00

1 n'est exclu que parce que dans ce cas M et A sont confondus, ce n'est pas une question de définition de fonction.
A mon avis, ça n'a pas beaucoup d'importance.
m
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