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J'ai besoin d'aide, s'il vous plaît aider moi !

Tags :
  • Maths
  • Aide aux devoirs
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
1 Janvier 2014 23:48:51

Bonjour,

S'il vous plaît, pouvez-vous m'aider à faire mon devoir maison ?
Je ne comprend vraiment pas !

Exercice 1 :
Claire et Benoît jouent à un jeu. Benoît choisit un nombre mystère entre 0 et 100 (exclus). Claire doit deviner ce nombre en un minimum de coups. Un coup consiste à faire une proposition à laquelle on répond : "trop petit" ou "trop grand" ou "c'est gagné". Claire assure qu'elle peut deviner n'importe qu'elle nombre en 7 coups maximum. Son secret est l'algorithme suivant :

Algorithme -> Commentaires
Entrées :
A, B : entiers
N : entier -> entre A et B, le nombre de Benoît
M : entier -> nombre proposé par Claire

Initialisation :
Saisir N
Affecter à A la valeur 0
Affecter à B la valeur 100

Traitement :
Tant que B-A >1 -> Veut dire que B est différent de A
Affecter à M la valeur E(A + B / 2) -> E(A + B / 2) s'appelle la partie entière du quotient A + B /2 c'est le plus grand entier inférieur ou égale à A + B / 2.
Par exemple : E(5/2) = E(2,5) = 2; E(22/3) = 7; E(pi) = 3; ...
Si M > N alors
Afficher M est trop grand
Affecter à B la valeur M
Sinon
Si M < N alors
Afficher M est trop petit
Affecter à A la valeur M
Sinon
Afficher Gagné
FinSi
FinSi
Fin tant que

Faire un tableau des étapes successives lorsque Benoît choisit 56, puis quand il choisit 20. Et expliquer pourquoi Claire a raison.

Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur [-2 ; 3] par : f(x) = x3 + 2x - 2.
1. Etude graphique
(a) Faire afficher la courbe représentative de cette fonction sur l'écran de votre calculatrice, dans un repère adapté (commencer par afficher un tableau de valeur) lorsque x varie de -2 à 3.
(b) Combien de solutions l'équation f(x) = 0 a-t-elle ? Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
(c) Combien de solutions l'équation f(x) = 5 a-t-elle ? Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
2. On se propose, grâce à un algorithme, de donner une valeur approchée aussi précise que possible de la solution de l'équation f(x) = 0 :

Algorithme Commentaires
Variables :
a, b : nombres réels -> Bornes de l'intervalle d'étude
f : fonction -> Fonction étudiée
k : entier naturel -> Compteur pour la boucle
N : entier naturel -> Nombre de fois où la boucle sera parcourue
m : nombre réel -> Valeur approchée de la solution

Entrée :
Saisir a, b f, N

Traitement :
Pour k variant de 1 à N
m prend la valeur a + b / 2 -> On se place au milieu de l'intervalle [a ; b]
Si f(m) et f(a) sont de même signe alors -> Si f(m) et f(a) sont de même signe alors la solution de
l'équation f(x) = 0 est située dans l'intervalle [m ; b]
a prend la valeur m -> On se place sur [m ; b]
sinon -> sinon
b prend la valeur m -> On se place sur [a ; m]
Fin pour.
Sortie :
Afficher a, b -> On affiche un encadrement de la solution de f(x) = 0.

(a) On applique à la main cet algorithme à la fonction f donnée dans le texte.
Prendre N = 4 et compléter le tableau suivant :
(Je n'ai pas réussi à insérer un tableau donc j'espère qu'il sera compréhensible)
k | | 1 | 2 | 3 | 4
m | | 0,5 | | |
a | 0 | | | |
b | 1 | | |
| (b) Quel est le rôle de cet algorithme ? Expliquer en particulier la fonction de la variable N.

Merci beaucoup d'avance !

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Meilleure solution

a c 252 O Aide aux devoirs
2 Janvier 2014 11:47:23

Bonjour,
Exercice 1:
L'algorithme procède par dichotomie c'est à dire qu'il divise à chaque fois l'intervalle par 2 en choisissant le bon (le supérieur ou l'inférieur) selon l'indication de benoît. Dans le cas où le nombre est 56, l'algorithme va proposer successivement 50, 75, 62 et 56. Dans le cas où le nombre est 20, l'algorithme va proposer successivement 50, 25, 12, 18, 21 et 20.
Claire a raison car au départ il y a 100 possibilité (de 0 à 99). Par dichotomie, on divise l'intervalle par 2 et il n'y en a plus que 49 (50 étant exclu sinon c'est la bonne réponse et l'algorithme s'achève). Selon le même principe, à la deuxième itération, il n'y en a plus que 24. Et ainsi de suite, à la 3ème, 12 solutions, puis 6, puis 3 puis 1.

Exercice 2.
La question 1 est graphique, il suffit de regarder les intersections de la courbe avec l'axe des abscisses et avec la droite y=5.
Pour l'algorithme : Comme pour l'exo 1, il utilise la dichotomie. f(-2)=-14 et f(3)=31 donc la solution est entre -2 et 3. Si f(m) est positif on est après la solution et donc m devient la borne maximale de l'intervalle. Dans le cas contraire on est avant la solution et m devient la borne minimale.
En partant de l'intervalle [-2;3] on prend le milieu de l'intervalle (0,5) et on teste f(0,5). Comme il est négatif, la solution est entre 0,5 et 3. Avec N=4, on teste successivement 0,5 / 1,75 / 1,125 et 0,8125. Ce qui fait que l'intervalle obtenu est [0,5 ; 0,8125].
En fait N, donne la précision de l'intervalle, plus N est grand plus l'intervalle est petit et plus la précision de la solution s'affine. Chaque itération de l'algorithme divisant la longueur de l'intervalle par 2, au bout de N itération, l'intervalle à été réduit par 2^N. Ca se vérifie avec N=4 puisque l'intervalle de départ fait (3-(-2)) et que l'intervalle obtenue fait 0,3125. Or 5/16=0,3125.
partage
2 Janvier 2014 12:59:07

slyz007 a dit :
Bonjour,
Exercice 1:
L'algorithme procède par dichotomie c'est à dire qu'il divise à chaque fois l'intervalle par 2 en choisissant le bon (le supérieur ou l'inférieur) selon l'indication de benoît. Dans le cas où le nombre est 56, l'algorithme va proposer successivement 50, 75, 62 et 56. Dans le cas où le nombre est 20, l'algorithme va proposer successivement 50, 25, 12, 18, 21 et 20.
Claire a raison car au départ il y a 100 possibilité (de 0 à 99). Par dichotomie, on divise l'intervalle par 2 et il n'y en a plus que 49 (50 étant exclu sinon c'est la bonne réponse et l'algorithme s'achève). Selon le même principe, à la deuxième itération, il n'y en a plus que 24. Et ainsi de suite, à la 3ème, 12 solutions, puis 6, puis 3 puis 1.

Exercice 2.
La question 1 est graphique, il suffit de regarder les intersections de la courbe avec l'axe des abscisses et avec la droite y=5.
Pour l'algorithme : Comme pour l'exo 1, il utilise la dichotomie. f(-2)=-14 et f(3)=31 donc la solution est entre -2 et 3. Si f(m) est positif on est après la solution et donc m devient la borne maximale de l'intervalle. Dans le cas contraire on est avant la solution et m devient la borne minimale.
En partant de l'intervalle [-2;3] on prend le milieu de l'intervalle (0,5) et on teste f(0,5). Comme il est négatif, la solution est entre 0,5 et 3. Avec N=4, on teste successivement 0,5 / 1,75 / 1,125 et 0,8125. Ce qui fait que l'intervalle obtenu est [0,5 ; 0,8125].
En fait N, donne la précision de l'intervalle, plus N est grand plus l'intervalle est petit et plus la précision de la solution s'affine. Chaque itération de l'algorithme divisant la longueur de l'intervalle par 2, au bout de N itération, l'intervalle à été réduit par 2^N. Ca se vérifie avec N=4 puisque l'intervalle de départ fait (3-(-2)) et que l'intervalle obtenue fait 0,3125. Or 5/16=0,3125.


Merci pour votre réponse, mais j'aimerai savoir :

Comment avez-vous fait pour trouver les valeurs de l'exercice 1 ?
Et comment je peux en faire un tableau (des étapes successives lorsqu'il choisit 56 puis 20) ?
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Contenus similaires
a c 252 O Aide aux devoirs
2 Janvier 2014 13:24:12

Pour trouver les valeurs, j'ai appliqué l'algorithme : la première proposition est toujours 50. C'est inférieur à 56, donc l'intervalle devient [50;100]. La proposition suivante est (100+50)/2=75. C'est supérieur à 56, donc l'intervalle devient [50;75]. La proposition suivante est (50+75)/2=62,5 donc 62 (partie entière). Encore trop grand donc l'intervalle devient [50;62]. La proposition suivante est (50+62)/2=56 qui est la bonne réponse. Même principe pour 20.
Personnellement, je ferais un tableau avec 4 lignes :
- le numéro de l'étape,
- la proposition
- la réponse (trop grand ou trop petit ou gagné)
- l'intervalle obtenu.

Ca ferait un truc comme ça :

Etape 1 2 3 4
Proposition 50 75 62 56
Réponse Trop petit Trop grand Trop Grand Gagné
Intervalle [50;100] [50;75] [50;62]

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3 Janvier 2014 01:19:53

Merci encore pour votre reponse, mais desole j'ai encore quelques questions.

Si j'ai bien compris la première proposition est 50 car M = A + B / 2 soit M = 0 + 100 / 2 = 50.

Pour la première proposition, l'intervalle devient plutôt [50;100[, non ?

Et lorsqu'il choisit 20, comment je dois faire pour trouver 25 car en faisant M = 50 - 100 / 2 je trouve 75 comme lorsqu'il choisit 56. Où est mon erreur ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
3 Janvier 2014 10:24:10

paulette11 a dit :
Merci encore pour votre reponse, mais desole j'ai encore quelques questions.

Si j'ai bien compris la première proposition est 50 car M = A + B / 2 soit M = 0 + 100 / 2 = 50.

Pour la première proposition, l'intervalle devient plutôt [50;100[, non ?

Et lorsqu'il choisit 20, comment je dois faire pour trouver 25 car en faisant M = 50 - 100 / 2 je trouve 75 comme lorsqu'il choisit 56. Où est mon erreur ?


Oui, effectivement pour la première proposition, l'intervalle est plutôt [50;100[ puisque 100 est exclu. Je n'ai pas fait attention au sens des crochets, j'étais plus occupé à rendre ma prose compréhensible.
Dans le cas ou N=20 (le N de l'algorithme), ton erreur vient des bornes de l'intervalle : la première proposition est bien 50, mais dans ce cas M>N donc c'est à B qu'on affecte la valeur 50 et non à A. L'intervalle devient donc [0;50] et non pas [50;100]. A l'itération suivante on a donc M=(0+50)/2=25
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3 Janvier 2014 11:53:35

slyz007 a dit :
paulette11 a dit :
Merci encore pour votre reponse, mais desole j'ai encore quelques questions.

Si j'ai bien compris la première proposition est 50 car M = A + B / 2 soit M = 0 + 100 / 2 = 50.

Pour la première proposition, l'intervalle devient plutôt [50;100[, non ?

Et lorsqu'il choisit 20, comment je dois faire pour trouver 25 car en faisant M = 50 - 100 / 2 je trouve 75 comme lorsqu'il choisit 56. Où est mon erreur ?


Oui, effectivement pour la première proposition, l'intervalle est plutôt [50;100[ puisque 100 est exclu. Je n'ai pas fait attention au sens des crochets, j'étais plus occupé à rendre ma prose compréhensible.
Dans le cas ou N=20 (le N de l'algorithme), ton erreur vient des bornes de l'intervalle : la première proposition est bien 50, mais dans ce cas M>N donc c'est à B qu'on affecte la valeur 50 et non à A. L'intervalle devient donc [0;50] et non pas [50;100]. A l'itération suivante on a donc M=(0+50)/2=25


Merci beaucoup à vous de tout faire pour rendre vos réponses totalement compréhensible.
Je voulais surtout m'en assurer car c'est plus probable que ce soit moi qui me trompe !

Donc lorsque Benoît choisit 20 :
1ère étape -> proposition : 50 -> "trop grand" -> [0;50[ (50 est exclu ?)
2ème étape -> proposition : 25 -> "trop grand" -> [0;25]
3ème étape -> proposition : 12 -> "trop petit" -> [12;25]
4ème étape -> proposition : 18 -> "trop petit" -> [18;25]
5ème étape -> proposition : 21 -> "trop grand" -> [18;21]
6ème étape -> proposition : 19 -> "trop petit" -> [19;21]
7ème étape -> proposition : 20 -> "c'est gagné" -> il n'y a pas d'intervalle ?

C'est bien ça ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
3 Janvier 2014 12:13:16

C'est bien ça!!
En toute bonne logique 50 devrait être exclu puisqu'on sait qu'il n'est pas la solution. Mais je pense que cela n'a pas beaucoup d'importance, cette notation par crochet est surtout valable dans R. Dans N (ce qui est le cas ici), si 50 est exclu c'est que 49 est la borne supérieure incluse. Mais au niveau de la progression de l'algorithme cela risquerait de fausser les calculs. Comme l'algorithme de l'exo1 n'emploie pas ce concept d'intervalle, je te conseille de remplacer dans ton tableau le terme d'intervalle par Borne Inf / Borne Sup et de prendre une notation du genre A / B. Si ton prof est un peu pointilleux (ce qui arrive assez fréquemment chez les profs de maths...) il pourrait tiquer sur cette notation. Cela t’enlèvera le souci des inclusions/exclusions (qui se pose aussi selon le même principe pour 25, 12, 18, 21 et 19).
Et pour répondre à ta dernière question, il n'y a pas d'intervalle à la dernière étape puisque la solution est trouvée.
Bref, tout ça pour dire que c'est bon.
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3 Janvier 2014 15:32:12

slyz007 a dit :
C'est bien ça!!
En toute bonne logique 50 devrait être exclu puisqu'on sait qu'il n'est pas la solution. Mais je pense que cela n'a pas beaucoup d'importance, cette notation par crochet est surtout valable dans R. Dans N (ce qui est le cas ici), si 50 est exclu c'est que 49 est la borne supérieure incluse. Mais au niveau de la progression de l'algorithme cela risquerait de fausser les calculs. Comme l'algorithme de l'exo1 n'emploie pas ce concept d'intervalle, je te conseille de remplacer dans ton tableau le terme d'intervalle par Borne Inf / Borne Sup et de prendre une notation du genre A / B. Si ton prof est un peu pointilleux (ce qui arrive assez fréquemment chez les profs de maths...) il pourrait tiquer sur cette notation. Cela t’enlèvera le souci des inclusions/exclusions (qui se pose aussi selon le même principe pour 25, 12, 18, 21 et 19).
Et pour répondre à ta dernière question, il n'y a pas d'intervalle à la dernière étape puisque la solution est trouvée.
Bref, tout ça pour dire que c'est bon.


Merci beaucoup !
... J'aurais juste une petite question à propos de l'exercice 1 : Dois-je aussi modifier le terme d'intervalle dans le premier tableau (lorsque Benoît choisit 56) ou dois-je seulement le modifier dans le deuxième tableau (lorsqu'il choisit 20) ?

Et concernant l'exercice deux, je trouve :
1. (b) Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe Cf et la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses).
Donc l'équation f(x) = 0 a une seule solution qui est 1.
(c) Les solutions de l'équation f(x) = 5 sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe Cf et la droite d'équation y = 5.
Donc l'équation f(x) = 5 a une seule solution qui est 2.
Est-ce bien ça ?
Mais par contre comment je dois faire pour donner un encadrement de ces solutions par deux entiers consécutifs ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
3 Janvier 2014 17:36:27

Oui tu appelles tout de la même façon.

Pour le 2 : C'est pas ça du tout.
1 n'est pas solution de f(x)=0 puisque f(1)=1. La solution, d'après l'algorithme est entre 0,5 et 0,8125. Donc si tu dois l'encadrer par 2 entier alors c'est entre 0 et 1.
En revanche, il n'y a en effet qu'une seule solution réelle.
Pour f(x)=5, 2 n'est pas solution puisque f(2)=10. Il n'y a effectivement qu'une solution réelle que tu dois déterminer graphiquement. Normalement, l'intersection de f(x) et y=5 doit être entre 1 et 2. Pour cela, tu dois regarder entre quelle abscisse se situe celle de la solution.
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4 Janvier 2014 19:02:29

Donc si j'ai bien compris, ça devrait être ça :

1. (b) Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe Cf et la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses).
Donc l'équation f(x) = 0 a une seule solution qui est environ 0,7709.
Cette solution est donc comprise dans l'intervalle [0;1].
(c) Les solutions de l'équation f(x) = 5 sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe Cf et la droite d'équation y = 5.
Donc l'équation f(x) = 5 a une seule solution qui est environ 1,5689.
Cette solution est donc comprise dans l'intervalle [1;2].

Mais par contre je ne comprend pas comment faire pour remplir le tableau...
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 15:54:13

Pour le tableau, je ferais un truc similaire à celui du premier exercice. 4 lignes :
- N,
- f(m),
- le signe de f(m),
- l'intervalle.
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5 Janvier 2014 17:08:30

slyz007 a dit :
Pour le tableau, je ferais un truc similaire à celui du premier exercice. 4 lignes :
- N,
- f(m),
- le signe de f(m),
- l'intervalle.


Pour le deuxième exercice, le tableau est déjà dans l'énoncé (désolé il n'était pas très compréhensible, vu qu'on ne peux pas insérer de tableau) il faut justement le remplir mais je ne sais pas comment il faut faire car je ne le comprend pas.
Je vais essayer de le refaire mieux :

k 1 2 3 4
m 0.5
a 0
b 1

(Première colonne : k/m/a/b; première ligne : k/case vide/1/2/3/4; deuxième colonne : 0 (juste à droite de a, à la troisième ligne) ; 1 (juste à droite de b, à la quatrième et dernière ligne) et 0,5 (juste en dessous de 1, à la troisième colonne et à la deuxième ligne)
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 17:15:57

Ok alors dans ce cas, ça veut dire qu'on part de l'intervalle [0;1] et qu'on fait 4 itérations. le premier m est 0,5 ((0+1)/2). Tu calcules f(m) et suivant son signe tu en déduis les nouvelles bornes a et b. Si f(m) est <0 ton intervalle alors a devient m et b reste b. Si f(m) est >0, a reste a et b devient m. Tu calcules un nouveau m avec les nouvelles valeurs de a et b et tu recommences. Ton tableau ne comprend donc que les valeurs de m, a et b.
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5 Janvier 2014 17:46:15

slyz007 a dit :
Ok alors dans ce cas, ça veut dire qu'on part de l'intervalle [0;1] et qu'on fait 4 itérations. le premier m est 0,5 ((0+1)/2). Tu calcules f(m) et suivant son signe tu en déduis les nouvelles bornes a et b. Si f(m) est <0 ton intervalle alors a devient m et b reste b. Si f(m) est >0, a reste a et b devient m. Tu calcules un nouveau m avec les nouvelles valeurs de a et b et tu recommences. Ton tableau ne comprend donc que les valeurs de m, a et b.


D'accord, merci !
Et donc pour la question 2. (b), le rôle de cet algorithme est de diviser l'intervalle en deux pour trouver la solution.
Plus N est grand, plus de fois on applique l'algorithme. Plus l'intervalle sera petit, plus l'encadrement de la solution sera petit et plus on aura de chiffres possible pour la solution.
C'est a dire plus N est grand, plus on augmente la précision de la solution trouvée.
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 17:54:31

Voilà. T'as tout compris!!!
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5 Janvier 2014 18:23:12

slyz007 a dit :
Voilà. T'as tout compris!!!


Par contre j'ai deux questions bonus, que j'aimerai faire parce que c'est toujours mieux d'avoir des points en plus ! ;p

Mais j'y arrive pas, car ces deux questions demande d'utiliser le logiciel algobox et je ne sais pas comment m'en servir !

BONUS :
Exercice 1 : Programmer cet algorithme dans algobox.
Exercice 2 : Traduire cet algorithme dans algobox.
Pour savoir si deux nombres sont de même, il suffit de regarder le signe du produit...
Tester ce programme pour N-4 (je n'arrive pas a bien lire le sujet et donc je ne sais pas si il s'agit de "N-4" ou "N=4"), puis 10, 15 et 25. Que constatez-vous ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 18:33:23

Désolé mais algobox je connais pas
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5 Janvier 2014 18:45:59

slyz007 a dit :
Désolé mais algobox je connais pas


D'accord, merci beaucoup à vous pour toutes vos réponses claires, nettes et précises mais surtout d'avoir pris beaucoup de votre temps pour me répondre !

PS : en voulant mettre une de vos réponses en "meilleure réponse", je me suis trompée de réponse. Est-ce qu'il serait possible de modifier ?
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 18:55:25

Je 'ai désélectionnée. Tu peux choisir celle que tu veux.
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5 Janvier 2014 19:18:07

slyz007 a dit :
Je 'ai désélectionnée. Tu peux choisir celle que tu veux.


Merci !

(Mais excusez-moi j'aurai une dernière petite question, si ça ne vous dérange pas.

slyz007 a dit :
Donc lorsque Benoît choisit 20 :
1ère étape -> proposition : 50 -> "trop grand" -> [0;50[ (50 est exclu ?)
2ème étape -> proposition : 25 -> "trop grand" -> [0;25]
3ème étape -> proposition : 12 -> "trop petit" -> [12;25]
4ème étape -> proposition : 18 -> "trop petit" -> [18;25]
5ème étape -> proposition : 21 -> "trop grand" -> [18;21]
6ème étape -> proposition : 19 -> "trop petit" -> [19;21]
7ème étape -> proposition : 20 -> "c'est gagné" -> il n'y a pas d'intervalle ?

C'est bien ça ?


Tous les intervalles devraient être exclu, non ?
-> 1ère étape : [0;50[
2ème étape : [0;25[
3ème étape : [12;25[
4ème étape : [18;25[
5ème étape : [18;21[
6ème étape : [19;21[
7ème étape : il n'y a toujours pas d'intervalle.
-> de même pour 56
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a c 252 O Aide aux devoirs
5 Janvier 2014 20:05:16

Je t'ai déjà répondu sur ces histoires d'intervalles. Relis-les réponses plus haut (une du 03/01). En effet, toutes les bornes (et non les intervalles) devraient être exclues en théorie, mais là on est dans N donc ça n'est pas important. Change la notation comme indiqué plus haut.
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a c 252 O Aide aux devoirs
6 Janvier 2014 13:33:46

paulette11 a dit :
slyz007 a dit :
Désolé mais algobox je connais pas


D'accord, merci beaucoup à vous pour toutes vos réponses claires, nettes et précises mais surtout d'avoir pris beaucoup de votre temps pour me répondre !

PS : en voulant mettre une de vos réponses en "meilleure réponse", je me suis trompée de réponse. Est-ce qu'il serait possible de modifier ?


Content d'avoir pu t'aider et que mes réponses t'aient parues claires!!:) 
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