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Math étude minimun

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  • Vecteur
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
23 Juin 2011 00:23:17

Bonsoir à tous, je ne sais pas si quelqu'un pourra m'aider sur cet exercice, mais je tente quand même.

En fait on se propose de calculer la borne inférieure de l'intégrale suivante:

int(a*cos(t)+b*sin(t)-t^2, t=0..Pi) (borne inférieur pour a et b parcourant R²)

Ma démarche:
L'idée c'est poser l'application f : (P,Q)->int(P*Q, t = 0 .. Pi), on montre facilement que c'est un produit scalaire.

Ensuite en prenant l'espace vectoriel engendré par cos(t) et sin(t) on peut déterminer la projection orthogonale de l'application identité.

p(Id)=<Id,cos(t)>.cos(t)+<Id,sint(t)>.sin(t)=-2cos(t)+Pi*sin(t)

Ainsi notre borne inférieure est en fait la distance de l'espace vectoriel engendré par cos(t) et sin(t) et de l'application t² (mais là je me demande si le carré du t n'est pas en fait la parenthèse au carré, pour raisonner en terme de distance).
Si on corrige ce problème
On a donc le minimun qui est égale à |p(t)-t| comme c'est un distance et ainsi |-2cos(t)+Pi*sin(t)-t|, t€[0,Pi].
Après si on ne corrige pas le problème?

Enfin je ne vois pas trop si c'est un erreur ou pas.

Sinon on pourrait voir ça comme une application à deux variables et étudier les points critiques pour trouver le minimum.

Autres pages sur : math etude minimun

Meilleure solution

23 Juin 2011 18:13:05

Salut

Citation :
(mais là je me demande si le carré du t n'est pas en fait la parenthèse au carré, pour raisonner en terme de distance)

Ça change la méthode : si la parenthèse englobe l'intégrande, alors oui, la méthode utilisant le produit scalaire est efficace, puisque c'est un calcul de distance entre un vecteur (une fonction continue) et un espace vectoriel (celui engendré par cos et sin).


Dans le 2e cas (le ² ne portant que sur le t), tu remarqueras que l'intégrale avec le cos est nulle, et que celle impliquant le sin vaut un réel positif...et donc elle n'admet pas de minimum, puisque alors il faudrait b=-oo....je pense donc que l'énoncé met la parenthèse sur le tout.
partage
23 Juin 2011 19:24:59

Oui c'est bien ce qu'il me semblait ! J'avais pas vraiment cherché à calculer l'intégrale. Merci de ta réponse !
m
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l
23 Juin 2011 19:25:12

Meilleure réponse sélectionnée par kill0157.
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